O lema de Itô, e por que a regra da cadeia quebra

Todo curso apresenta o lema de Itô como uma regra da cadeia com um termo extra estranho. Este texto mostra de onde vem esse termo, por que ele não é opcional, e o que ele faz com o seu dinheiro.

Leitura de cerca de 15 minutos · exige regra da cadeia e série de Taylor

Se você já viu o lema de Itô, também chamado de fórmula de Itô, provavelmente viu assim. A regra da cadeia normal diz que $ df = f'(x)\,dx $. Para um processo estocástico, aparece um termo a mais, com uma segunda derivada e um fator de um meio, e o professor diz que isso vem da variação quadrática do movimento browniano. Você anota e segue.

Só que esse termo extra carrega quase tudo. Sem ele não existe Black-Scholes, não existe hedge dinâmico como o conhecemos, e o retorno típico de um investimento seria outro número. Vale entender de onde ele sai.

O caminho

Por que a regra da cadeia normal falha
O fato central, a variação quadrática
A dedução por Taylor, a demonstração heurística
Primeiro teste, a função ao quadrado
O caso que importa, o log do preço
O arrasto de volatilidade, com números

1. Por que a regra da cadeia normal falha

Na regra da cadeia usual, você despreza tudo que for de ordem superior. Se $ x $ varia por $ \Delta x $, então

$$ \Delta f \approx f'(x)\,\Delta x + \tfrac{1}{2}f''(x)\,(\Delta x)^{2} + \ldots $$

e o segundo termo some no limite, porque $ (\Delta x)^{2} $ é muito menor que $ \Delta x $. Se $ \Delta x $ vale um centésimo, o quadrado vale um décimo de milésimo. Ignorar é seguro.

Com o movimento browniano essa conta muda, e muda por um motivo geométrico. Um caminho browniano não é suave. Ele oscila em toda escala, e por isso o tamanho típico de um incremento não é proporcional ao intervalo de tempo, é proporcional à raiz dele.

$$ \Delta W \sim \sqrt{\Delta t} $$

É a mesma escala raiz do tempo que faz a volatilidade anual ser a diária multiplicada por $ \sqrt{252} $. E ela estraga o argumento anterior, porque agora

$$ (\Delta W)^{2} \sim \Delta t $$

O termo de segunda ordem tem exatamente o mesmo tamanho do termo de primeira ordem em $ t $. Ele não é desprezível, ele é da mesma ordem do que você está tentando calcular. Jogar fora seria errar o resultado, não arredondá-lo.

2. O fato central, a variação quadrática

Vamos tornar isso preciso. Divida o intervalo $ [0,T] $ em $ n $ pedaços e some os quadrados dos incrementos. A afirmação é que essa soma converge para $ T $, e não para zero.

$$ \sum_{i=1}^{n} (\Delta W_i)^{2} \;\longrightarrow\; T $$

Dá para ver por quê com probabilidade básica. Cada incremento é normal com variância $ \Delta t $, então

$$ \mathbb{E}\big[(\Delta W_i)^{2}\big] = \Delta t \qquad\Longrightarrow\qquad \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n} (\Delta W_i)^{2}\right] = n\,\Delta t = T $$

A média já dá $ T $. Falta mostrar que não é só a média, que a soma de fato gruda em $ T $. Para uma normal de média zero vale $ \mathrm{Var}(Z^{2}) = 2\sigma^{4} $, o que sai do momento quarto da normal, $ \mathbb{E}[Z^{4}] = 3\sigma^{4} $, fazendo $ 3\sigma^{4} - \sigma^{4} $. Logo cada parcela tem variância $ 2(\Delta t)^{2} $, e como os incrementos são independentes,

$$ \mathrm{Var}\left[\sum_{i=1}^{n} (\Delta W_i)^{2}\right] = n\cdot 2(\Delta t)^{2} = 2T\,\Delta t \;\xrightarrow[\Delta t \to 0]{}\; 0 $$

Variância indo a zero com média fixa em $ T $ significa que a soma deixa de ser aleatória. Ela vira o número $ T $. Esse é o resultado surpreendente. Cada caminho é um caos diferente, mas todos acumulam exatamente a mesma variação quadrática. O nome formal desse tipo de convergência é convergência em média quadrática.

Conferido numericamente

Simulei um caminho browniano em $ [0,1] $ com refinamentos sucessivos. A soma dos quadrados converge para 1, enquanto a soma dos valores absolutos cresce sem parar, o que mostra que o caminho tem comprimento infinito mas variação quadrática finita.

passos	soma de $ (\Delta W)^2 $	soma de $ \|\Delta W\| $
100	0,796	6,9
1 000	0,930	24,1
10 000	0,999	79,7
100 000	0,997	251,8
1 000 000	0,999	797,6

Repare que a coluna da direita cresce por um fator de aproximadamente $ \sqrt{10} $ a cada linha, que é a assinatura da escala raiz do tempo.

Na notação abreviada que todo mundo usa, esse resultado vira uma regra de multiplicação.

$$ dW \cdot dW = dt, \qquad dt \cdot dW = 0, \qquad dt \cdot dt = 0 $$

As duas últimas são o comportamento normal, coisas de ordem superior somem. A primeira é a anomalia, e é dela que sai tudo.

3. A dedução por Taylor, a demonstração heurística

Considere um processo com arrasto e ruído, o formato geral de quase todo modelo de preço.

$$ dX_t = \mu\,dt + \sigma\,dW_t $$

Queremos saber como se comporta $ f(t, X_t) $. Expanda em Taylor até segunda ordem, mantendo por enquanto todos os termos.

$$ df = f_t\,dt + f_x\,dX + \tfrac{1}{2}f_{xx}\,(dX)^{2} + \tfrac{1}{2}f_{tt}\,(dt)^{2} + f_{tx}\,dt\,dX + \ldots $$

Agora aplique as regras de multiplicação. Comece por $ (dX)^{2} $.

$$ (dX)^{2} = \big(\mu\,dt + \sigma\,dW\big)^{2} = \underbrace{\mu^{2}(dt)^{2}}_{=\,0} + \underbrace{2\mu\sigma\,dt\,dW}_{=\,0} + \sigma^{2}\underbrace{(dW)^{2}}_{=\,dt} = \sigma^{2}dt $$

E os outros produtos? Vale conferir as ordens um a um, já que a seção 1 acabou de ensinar a desconfiar de qualquer coisa descartada como sendo de ordem superior. O termo $ (dt)^{2} $ é de ordem $ dt^{2} $. O produto $ dt\,dW $ tem tamanho típico $ dt\sqrt{dt} $, ou seja, ordem $ dt^{3/2} $. Os dois são menores que $ dt $ e somem no limite, mas por taxas diferentes. O único produto de segunda ordem que sobrevive na ordem $ dt $ é exatamente $ (dW)^{2} $. Sobra

$$ df = f_t\,dt + f_x\big(\mu\,dt + \sigma\,dW\big) + \tfrac{1}{2}f_{xx}\,\sigma^{2}dt $$

e agrupando por $ dt $ e por $ dW $, chegamos ao lema.

$$ \boxed{\;df = \left(f_t + \mu f_x + \tfrac{1}{2}\sigma^{2}f_{xx}\right)dt \;+\; \sigma f_x\,dW\;} $$

O que ler nessa fórmula

Comparada com a regra da cadeia comum, apareceu um único termo novo, o $ \tfrac{1}{2}\sigma^{2}f_{xx} $, e ele entra no arrasto, não no ruído. Ou seja, a curvatura da função altera o retorno médio do processo transformado. Função convexa ganha um empurrão para cima, função côncava apanha. Todo o resto é regra da cadeia de sempre.

Uma licença que vale registrar. Enunciei o lema com $ \mu $ e $ \sigma $ constantes para não carregar a notação, mas ele vale igual quando os dois dependem do tempo e do próprio $ X $. Basta usar, em cada termo, o arrasto e a difusão do processo em questão, que é exatamente o que faremos na seção 5.

4. Primeiro teste, a função ao quadrado

O menor exemplo que já mostra o efeito é $ f(W) = W^{2} $, com $ \mu = 0 $ e $ \sigma = 1 $, ou seja, o próprio browniano. Aqui $ f_x = 2W $ e $ f_{xx} = 2 $.

$$ d(W^{2}) = \tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2\,dt + 2W\,dW = dt + 2W\,dW $$

Pela regra da cadeia comum sairia apenas $ 2W\,dW $. O $ dt $ extra tem uma consequência que dá para testar. Integrando dos dois lados de 0 a $ T $, e lembrando que a integral de Itô tem média zero, para integrandos bem comportados como todos os deste texto,

$$ \mathbb{E}\big[W_T^{2}\big] = T $$

que é justamente a variância do browniano, como tinha que ser. Se você tivesse ignorado o termo extra, concluiria que $ \mathbb{E}[W_T^{2}] = 0 $, o que é absurdo, já que um quadrado não pode ter média zero sem ser identicamente nulo.

Onde a integral de Itô difere de todas as outras

Ao calcular $ \int 2W\,dW $ numericamente, o valor de $ W $ precisa ser tomado no início de cada intervalo. Isso não é convenção arbitrária, e o preço de errar é mensurável. Simulei as três escolhas possíveis, com $ T = 1 $.

onde $ W $ é amostrado	viés em relação a Itô	medido
início do intervalo	0	0,000
meio do intervalo	$ +T $	+1,000
fim do intervalo	$ +2T $	+2,000

Cada convenção calcula uma coisa diferente. A do meio é a integral de Stratonovich, que devolve exatamente $ W_T^{2} $ e obedece à regra da cadeia comum, mas não é martingale. A do fim erra por $ 2T $, porque $ \sum 2W_{i+1}\Delta W = \sum 2W_i\Delta W + 2\sum(\Delta W)^{2} $, e a segunda soma é a variação quadrática. Só a do início tem média zero, e é ela que dá sentido financeiro à coisa, porque você decide quanto comprar antes de ver o que o preço fez, não depois.

5. O caso que importa, o log do preço

O modelo padrão de preço de ativo é o movimento browniano geométrico, em que o retorno percentual é que tem arrasto e ruído constantes.

$$ dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t $$

Aplique o lema a $ f(S) = \ln S $, que tem $ f_t = 0 $, $ f_x = \dfrac{1}{S} $ e $ f_{xx} = -\dfrac{1}{S^{2}} $. Note que aqui o arrasto é $ \mu S $ e a difusão é $ \sigma S $, então

$$ d(\ln S) = \left(0 + \mu S\cdot\frac{1}{S} + \frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\cdot\left(-\frac{1}{S^{2}}\right)\right)dt + \sigma S\cdot\frac{1}{S}\,dW $$

$$ \boxed{\;d(\ln S) = \left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^{2}\right)dt + \sigma\,dW\;} $$

Esse é o resultado mais citado de todo o cálculo estocástico, e a origem do famoso $ -\sigma^{2}/2 $. Integrando, o preço fica

$$ S_T = S_0\,\exp\!\left(\left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^{2}\right)T + \sigma W_T\right) $$

Repare no que aconteceu. O ativo tem retorno esperado $ \mu $, mas o logaritmo dele cresce a uma taxa menor. A diferença é exatamente metade da variância, e ela vem do fato de o logaritmo ser côncavo.

6. O arrasto de volatilidade, com números

Essa correção separa duas quantidades que quase todo mundo confunde, a média e o resultado típico.

$$ \mathbb{E}[S_T] = S_0 e^{\mu T} \qquad\text{mas}\qquad \text{mediana}(S_T) = S_0 e^{(\mu - \sigma^{2}/2)T} $$

A média é puxada por uma cauda de cenários muito bons e raros. A mediana é o que acontece num ano comum. Simulei os dois para três combinações, com horizonte de um ano.

$ \mu $	$ \sigma $	média de $ S_T/S_0 $	mediana de $ S_T/S_0 $
8%	20%	1,083	1,063
10%	30%	1,104	1,057
15%	50%	1,161	1,025

Olhe a última linha. Um ativo com retorno esperado de 15% ao ano entrega, no cenário mediano, 2,5%. A média de 16,1% existe, mas a maioria dos caminhos fica bem abaixo dela. Metade da variância, aqui, come 12,5 pontos percentuais de retorno típico.

É por isso que volatilidade alta corrói patrimônio mesmo quando a expectativa é positiva. E é a matemática por trás da decepção dos ETFs alavancados em prazos longos. Com alavancagem $ L $ e rebalanceamento diário, a exposição se mantém em $ L $ vezes o ativo, o que faz a volatilidade virar $ L\sigma $ e o crescimento típico virar $ L\mu - \tfrac{1}{2}L^{2}\sigma^{2} $. O ganho escala com $ L $, o arrasto escala com $ L^{2} $.

Com $ \mu = 10\% $ e $ \sigma = 20\% $, alavancar duas vezes dá $ 20\% - 8\% = 12\% $ de crescimento típico. Alavancar quatro vezes dá $ 40\% - 32\% = 8\% $. Mais risco, menos resultado. Existe portanto uma alavancagem que maximiza esse crescimento, e encontrá-la é o critério de Kelly, que aqui dá $ L^{*} = \mu/\sigma^{2} = 2{,}5 $.

Vale a precisão. Esse arrasto proporcional a $ L^{2} $ é filho do rebalanceamento constante, que é o que mantém a exposição fixa em $ L $. Uma posição alavancada estática, comprada com margem e deixada quieta, não sofre o mesmo efeito, porque a alavancagem efetiva dela muda sozinha conforme o preço anda.

O $ -\sigma^{2}/2 $ não é um detalhe de notação, é dinheiro.

Veja a escala raiz do tempo que sustenta tudo isso

Todo o argumento da seção 2 depende de o incremento browniano escalar com a raiz do tempo. Construí um simulador que mostra isso, com trajetórias ao vivo e o envelope de dois desvios padrão. Gratuito e sem cadastro.

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Onde isso vai dar

O lema de Itô é a ferramenta, não o destino. Aplicando ele ao preço de uma opção e montando uma carteira que cancela o termo em $ dW $, o acaso desaparece e sobra uma equação determinística, que é a equação de Black-Scholes. E essa equação, por sua vez, é a equação do calor disfarçada.

Escrevi essa segunda passagem inteira em outra página, com as três substituições e as contas todas. Por que Black-Scholes é a equação do calor disfarçada.

Para fixar

Feche a aba e responda no papel.

Por que $ (\Delta W)^{2} $ não pode ser desprezado, se $ (\Delta x)^{2} $ pode?
Por que a soma dos quadrados dos incrementos deixa de ser aleatória?
Aplique o lema a $ f(S) = S^{2} $ num movimento browniano geométrico. Qual é o arrasto do resultado?
Um ativo tem $ \mu = 12\% $ e $ \sigma = 40\% $. Qual o crescimento típico em um ano?

Respostas da terceira e da quarta. Para $ f = S^{2} $ sai $ d(S^{2}) = (2\mu + \sigma^{2})S^{2}dt + 2\sigma S^{2}dW $, ou seja, a convexidade aumenta o arrasto, ao contrário do logaritmo. Na quarta, $ 12\% - \tfrac{1}{2}(40\%)^{2} = 4\% $.