Calculadora de Black-Scholes

Preço teórico de call e put, as cinco gregas e a volatilidade implícita a partir do prêmio de mercado. Com dias úteis, taxa anual na base 252 e dividendos, e com cada convenção explicada abaixo.

Atualizado em 1º de outubro de 2026 · gratuita, sem cadastro, roda no seu navegador

A calculadora usa os valores de preço, strike, prazo, taxa e dividendos acima, e a volatilidade implícita procura a volatilidade que faz o prêmio teórico igualar o prêmio que você digitou. Aceita vírgula ou ponto como separador decimal. O que cada número significa, e onde ele deixa de valer, vem a seguir.

Para combinar duas opções numa trava de alta ou de baixa, o simulador de travas usa este mesmo motor e mostra custo, ganho máximo, perda máxima, ponto de equilíbrio e o resultado no vencimento.

1. As convenções, que é onde as calculadoras discordam

Duas calculadoras corretas podem devolver prêmios diferentes para a mesma opção, e quase sempre a diferença está na forma de medir o tempo e a taxa, não na fórmula.

Prazo

O modelo precisa do prazo em anos. Com dias úteis, que é a convenção do mercado brasileiro, o prazo é o número de dias úteis dividido por 252. Com dias corridos, é o número de dias dividido por 365. Para a mesma data de vencimento as duas contas dão prazos um pouco diferentes, e a volatilidade tem de estar na mesma base. Volatilidade anualizada com 252 pregões combina com dias úteis.

Taxa de juros

No Brasil a taxa é cotada como taxa efetiva ao ano, a forma do CDI e das taxas prefixadas, em que R$ 1 vira \( (1+i) \) em um ano. A fórmula de Black-Scholes usa taxa contínua. A calculadora converte uma na outra de modo exato,

Com \( i = 15\% \) a taxa contínua é cerca de \( 13{,}98\% \). Digitar a taxa efetiva direto como se fosse contínua superestima o juro, e o erro cresce com o prazo. Use a taxa do prazo da opção, não a de um ano, quando a curva de juros estiver inclinada.

A taxa também precisa estar na base da contagem de dias. A taxa DI e as taxas prefixadas brasileiras são de base 252, então quem usa uma delas deve ficar na contagem de dias úteis. A opção de dias corridos serve para taxas cotadas na base 365.

Dividendos

Para opções sobre ações da B3, deixe em zero, mesmo que haja provento até o vencimento. Quando a empresa paga provento em dinheiro, a B3 subtrai do strike de cada série o valor líquido do evento na passagem para a data ex. No dividendo é o valor inteiro, e no JCP é o valor líquido de imposto, que o manual de procedimentos da câmara da B3 calcula hoje como 85% do bruto. O provento já sai do strike, e preencher o campo o contaria duas vezes. Use sempre o strike vigente, já ajustado, que a B3 publica na consulta de ajuste de proventos.

O campo serve para opções sem esse ajuste, como opções sobre índice ou de outros mercados. Nele os dividendos entram como rendimento contínuo, na mesma convenção da taxa de juros, o que é uma aproximação razoável para um índice e ruim para uma ação que paga um provento grande numa data conhecida.

2. As fórmulas que a calculadora usa

Com \( r \) e \( q \) já na forma contínua e \( \Phi \) a distribuição normal padrão acumulada,

O retorno esperado da ação não aparece em lugar nenhum. Duas ações com a mesma volatilidade e expectativas opostas têm opções com o mesmo preço, e o motivo é a troca de medida explicada no artigo sobre Girsanov. A dedução da equação que gera essas fórmulas está no artigo sobre Black-Scholes como equação do calor.

3. Como ler cada grega nas unidades da tabela

Os livros definem as gregas como derivadas em relação a anos e a taxas em fração. A calculadora mostra as mesmas derivadas convertidas para as unidades que se usam na mesa.

• Delta. Quanto o prêmio muda para R$ 1 de alta no ativo. Também é quantas ações vender por opção comprada para ficar neutro a pequenos movimentos. Call entre 0 e 1, put entre −1 e 0.
• Gama. Quanto o delta muda para R$ 1 de alta no ativo. É igual para call e put de mesmo strike e vencimento. É maior perto do dinheiro, e no dinheiro cresce à medida que o vencimento se aproxima.
• Vega. Quanto o prêmio muda se a volatilidade subir 1 ponto percentual, de 35% para 36%, por exemplo. Também é igual para call e put.
• Theta. A derivada do prêmio em relação à passagem do tempo, dividida por 252 ou por 365 conforme a contagem escolhida. É uma taxa instantânea. A perda efetiva em um dia inteiro é parecida longe do vencimento e diverge dela nos últimos dias, quando o theta muda rápido.
• Rho. Quanto o prêmio muda se a taxa efetiva digitada subir 1 ponto percentual, de 15% para 16%. Como a taxa digitada é efetiva, o rho já inclui o fator \( 1/(1+i) \) da conversão para a taxa contínua.
• Valor intrínseco e extrínseco. O intrínseco é o que a opção renderia se fosse exercida agora, e o extrínseco é o resto do prêmio. Numa put europeia bem dentro do dinheiro o extrínseco fica negativo, porque receber o strike só no vencimento custa juros, e com juros brasileiros isso aparece em prazos curtos.
• Probabilidade de exercício. \( \Phi(d_2) \) para a call e \( \Phi(-d_2) \) para a put. É a probabilidade de terminar dentro do dinheiro sob a medida neutra ao risco, em que o ativo rende a taxa de juros. Não é a probabilidade no mundo real, que depende do retorno esperado que o modelo descartou.

As fórmulas analíticas de cada grega estão no formulário de cálculo estocástico.

4. Volatilidade implícita, a fórmula ao contrário

Das cinco entradas do modelo, quatro se observam, o preço do ativo, o strike, o prazo e a taxa. A quinta, a volatilidade, não. Por isso o mercado faz a conta de trás para a frente. Pega o prêmio negociado e pergunta qual volatilidade, posta na fórmula, devolve aquele prêmio. Essa é a volatilidade implícita, e é nela que as opções são comparadas entre si, porque prêmio em reais não se compara entre strikes e prazos diferentes.

Não existe fórmula fechada para inverter Black-Scholes. A calculadora resolve numericamente. Mantém um intervalo que certamente contém a resposta e o estreita a cada passo, usando o método de Newton quando o passo cai dentro do intervalo e a bissecção quando não cai. A combinação converge sempre e costuma levar menos de vinte passos.

Quando não existe resposta

O prêmio precisa estar entre os limites de não arbitragem, que para uma call são

e para uma put, \( \max(Ke^{-r\tau} - Se^{-q\tau},\ 0) < P < Ke^{-r\tau} \). Fora disso nenhuma volatilidade reproduz o prêmio, e a calculadora avisa em vez de inventar um número. Na prática isso aparece com prêmio desatualizado ou com a taxa errada.

O caso oposto engana mais, porque tem solução e a solução está errada. Uma opção americana com valor de exercício antecipado relevante vale mais que a europeia, e ler o prêmio dela com a fórmula europeia atribui à volatilidade o que é valor do exercício. No exemplo da seção 5, uma put americana de R$ 2,81 devolve volatilidade implícita de 38,5% quando a volatilidade verdadeira é 35%. Para as séries listadas de ações da B3 isso quase não aparece, pelo motivo explicado lá.

Quando a resposta é imprecisa

Opção muito fora do dinheiro, ou muito perto do vencimento, tem vega quase nulo. Aí uma variação mínima no prêmio corresponde a uma variação grande na volatilidade. Como o prêmio na B3 anda de centavo em centavo, a calculadora também resolve a volatilidade implícita para meio centavo a menos e meio centavo a mais, e mostra o intervalo em que a volatilidade verdadeira está. Com os valores iniciais da página o intervalo tem cerca de 0,3 ponto de largura. Com strike de R$ 38 e prêmio de R$ 0,02, ele vai de 34,9% a 37,5%, e a volatilidade implícita daquela série diz pouco.

5. Onde o resultado deixa de valer

Uma volatilidade só não precifica todos os strikes. Se o modelo fosse exato, a volatilidade implícita seria a mesma para todas as séries de um mesmo ativo. Não é, e o desenho que ela forma em função do strike se chama sorriso de volatilidade. Usar a volatilidade de uma série no dinheiro para precificar uma série longe dele erra o prêmio, para cima ou para baixo conforme o formato do sorriso daquele ativo.

Liquidez. Série com pouco negócio tem último preço velho e spread largo. A volatilidade implícita calculada com esse preço mede o descompasso entre o preço e o momento, não a expectativa do mercado.

Strike desatualizado. Além dos proventos em dinheiro, a B3 ajusta as séries em outros eventos corporativos, como desdobramentos e bonificações. Um strike antigo, anterior ao ajuste, produz prêmio e volatilidade implícita errados sem nenhum aviso. Confira o strike vigente da série.