Formulário de cálculo estocástico

Regras de multiplicação

Exige que o ruído seja browniano. É a tabela inteira do cálculo de Itô, e é de onde sai o lema.

Quebra com saltos. Processo de Poisson ou difusão com salto precisa de termos extras, porque o quadrado de um salto não é de ordem \( dt \).

De onde vem, no artigo sobre o lema de Itô.

Lema de Itô, caso escalar

Para \( dX_t = \mu\,dt + \sigma\,dW_t \) e uma função \( f(x,t) \),

Exige \( f \) duas vezes derivável em \( x \) e uma vez em \( t \), a classe \( C^{2,1} \).

Quebra onde \( f \) tem bico ou salto. O substituto é a fórmula de Itô-Tanaka, que troca o termo de segunda ordem por tempo local. Isso importa pouco para o payoff de uma call, porque a função valor é suave antes do vencimento, e importa muito para digital e barreira, onde a descontinuidade fica no caminho e não só no instante final.

Dedução completa e a intuição da variação quadrática, no artigo sobre o lema de Itô.

Lema de Itô, caso multidimensional

Para \( f(x_1,\dots,x_n,t) \) e processos \( dX_i = \mu_i\,dt + \sigma_i\,dW_i \),

Para simular, os brownianos correlacionados saem de independentes assim,

Exige \( f \) de classe \( C^{2,1} \) e a matriz \( \rho \) positiva semidefinida. A segunda não é formalidade. Matriz de correlação montada a mão, ou estimada pedaço a pedaço, frequentemente não é fatorável, e é ali que a decomposição de Cholesky falha.

Cuidado com o somatório duplo. Os termos cruzados \( i \neq j \) são contados duas vezes, o que cancela o \( \tfrac{1}{2} \) e deixa coeficiente 1. É o erro de conta mais frequente nesta fórmula.

Regra do produto

Exige que \( X \) e \( Y \) sejam semimartingales. Para difusões, \( d[X,Y]_t = \sigma_X\sigma_Y\rho\,dt \).

É a fórmula que você usa sem perceber. Descontar um preço com \( d(e^{-rt}S_t) \), trocar de numerário, mostrar que o preço descontado é martingale, tudo passa por aqui. Como \( e^{-rt} \) é determinístico, o colchete some nesse caso particular, o que esconde o termo de quem só viu esse exemplo.

Quebra a intuição do cálculo comum, porque \( d[X,Y] \) não tem análogo determinístico. Com \( X = Y = W \) ela dá \( d(W^{2}) = 2W\,dW + dt \), e esquecer o \( dt \) faz \( \mathbb{E}[W_T^{2}] \) dar zero em vez de \( T \).

Variação quadrática

Em que sentido converge. Em \( L^{2} \) para qualquer sequência de partições com malha indo a zero, e quase certamente ao longo de partições encaixadas ou com \( \sum_n \|\Pi_n\| < \infty \). Dizer "quase certamente" sem essa ressalva é forte demais.

Consequência que aparece em Girsanov. Mudança equivalente de medida pode alterar o arrasto e não altera a variação quadrática, logo não altera \( \sigma \).

Quebra fora do browniano. Para browniano fracionário com \( H \neq 1/2 \) a variação quadrática é zero ou infinita, e o cálculo de Itô inteiro deixa de valer. E na prática, medir \( \sigma \) amostrando cada vez mais fino não converge, porque o ruído de microestrutura domina. A variância realizada diverge com a frequência, e é por isso que existe uma literatura inteira de estimadores robustos.

Integral de Itô, média e isometria

Exige \( f \) adaptado, quer dizer, decidido antes do incremento acontecer, e de quadrado integrável, \( \mathbb{E}\int_0^T f_s^{2}ds < \infty \).

Quebra se a integrabilidade falhar. Sem ela o objeto ainda é martingale local, e martingale local não precisa ter esperança constante. É exatamente a ressalva que aparece na demonstração de Feynman-Kac e na condição de Novikov.

Movimento browniano geométrico

Resolve-se aplicando Itô a \( \ln S \). O termo \( -\tfrac{1}{2}\sigma^{2} \) que aparece é o arrasto de volatilidade, e é a razão de a mediana de \( S_t \) ficar abaixo da média.

Dois crescimentos diferentes. O esperado é \( \mu \), o típico de uma trajetória é \( \mu - \tfrac{1}{2}\sigma^{2} \). Confundir os dois leva a errar o efeito da alavancagem, que multiplica o primeiro por \( L \) e o segundo por \( L \) com penalidade \( L^{2} \).

Quebra com \( \sigma \) estocástico, porque a forma fechada depende de \( \mu \) e \( \sigma \) ao menos determinísticos. E \( S \) nunca cruza zero nem fica negativo, o que inviabiliza o modelo para spread, base e taxa de juros.

Ornstein-Uhlenbeck

Exige \( \theta > 0 \) para haver reversão. Com \( \theta < 0 \) o processo diverge e a fórmula da variância não avisa sozinha, porque continua positiva.

Resolve-se com fator integrante \( e^{\theta t} \), exatamente como numa EDO linear. Distribuição estacionária \( \mathcal{N}\!\left(m,\ \dfrac{\sigma^{2}}{2\theta}\right) \), meia-vida da reversão \( \ln 2/\theta \).

Quebra onde o sinal importa. \( X_t \) é gaussiano, então fica negativo com probabilidade positiva em qualquer instante. É por isso que Vasicek produz taxa negativa e por isso que OU não serve para modelar variância. A saída é o processo abaixo.

Processo raiz quadrada, CIR

A média é a mesma do Ornstein-Uhlenbeck. O que muda é a variância, que agora depende do nível, e o fato de o processo não ficar negativo.

Condição de Feller, \( 2\theta m \ge \sigma^{2} \), é o que mantém \( X \) estritamente positivo. Ela é violada rotineiramente em calibração de Heston contra preços de mercado, e quando isso acontece o processo toca zero, a discretização de Euler produz valores negativos e a raiz quadrada estoura. Daí os esquemas de truncamento e o esquema de Andersen.

Ponte browniana

Browniano condicionado a voltar a zero em \( T \),

Na forma que se usa em simulação, condicionando a \( X_0 = a \) e \( X_T = b \),

Para que serve. Preencher um instante intermediário sem refazer o caminho todo. É assim que se refina a grade de um Monte Carlo e que se corrige o viés de barreira, que aparece porque a trajetória discreta pode ter cruzado a barreira entre dois pontos amostrados.

Variância máxima no meio, valendo \( T/4 \) em \( t = T/2 \), e zero nas duas pontas por construção.

Girsanov

Uso padrão. Com \( \theta = (\mu-r)/\sigma \) o arrasto do ativo passa de \( \mu \) para \( r \). É assim que se chega à medida neutra ao risco.

A forma geral de \( Z \) é a exponencial estocástica \( \mathcal{E}(X)_t = \exp\!\left(X_t - \tfrac{1}{2}[X]_t\right) \). O movimento browniano geométrico e a densidade acima são o mesmo objeto com \( X \) diferente.

Exige que \( Z \) seja martingale verdadeiro e não apenas local. O critério suficiente de uso corrente é Novikov, \( \mathbb{E}\big[e^{\frac{1}{2}\int_0^T \theta_s^{2}ds}\big] < \infty \). Ele é suficiente e não necessário, existe Kazamaki mais fraco, e o que realmente importa é a conclusão sobre \( Z \).

Quebra quando \( \theta \) cresce rápido demais, tipicamente com \( \theta \) estocástico e não limitado, como em modelos de volatilidade estocástica correlacionada. Ali \( Z \) vira martingale estritamente local e o que se chamava de preço neutro ao risco deixa de ser preço. Com \( \theta \) constante nada disso acontece.

Dedução, intuição e o papel da equivalência de medidas, no artigo sobre o teorema de Girsanov.

Feynman-Kac

Seja \( dX_s = \mu(X_s,s)\,ds + \sigma(X_s,s)\,dW_s \) sob a medida em que a esperança será tomada. Se \( u \) resolve \( u_t + \mu u_x + \tfrac{1}{2}\sigma^{2}u_{xx} - ru = 0 \) com \( u(x,T) = \psi(x) \), então

Com taxa estocástica, o desconto entra dentro da esperança e a forma usada na prática é

Exige linearidade da equação, \( u \) de classe \( C^{2,1} \), e a integrabilidade de \( \sigma u_x \) que garante martingale de verdade e não só local.

Não escolhe medida. A esperança é tomada sob a medida em que \( X \) foi escrito. Girsanov entrega o processo já sob \( \mathbb{Q} \), Feynman-Kac converte esse processo em equação. Os dois se usam em sequência e não como alternativas.

Quebra em equação não linear. Custo de transação, restrição de liquidez e volatilidade dependente da carteira saem todos do alcance.

Demonstração passo a passo e verificação numérica, no artigo sobre Feynman-Kac.

EDP de Black-Scholes

Vira a equação do calor em dois passos. Primeiro as variáveis, com \( k = 2r/\sigma^{2} \),

Depois o fator exponencial que mata os dois termos que sobraram,

A escala do tempo importa. Esses valores de \( \beta \) pressupõem \( \theta = \tfrac{1}{2}\sigma^{2}(T-t) \). Com \( \tau = T-t \) puro, o mesmo \( \alpha \) continua valendo e \( \beta \) passa a \( -\sigma^{2}(k+1)^{2}/8 \), chegando a \( u_\tau = \tfrac{1}{2}\sigma^{2}u_{yy} \). Trocar de convenção sem trocar o \( \beta \) é um erro fácil de cometer.

Note o que sumiu. O retorno esperado \( \mu \) do ativo não aparece. Duas ações com expectativas de retorno diferentes e mesma volatilidade têm opções com o mesmo preço.

Quebra com hedge descontínuo ou com custo. Incluir custo de transação torna a equação não linear, com a volatilidade efetiva dependendo do sinal do gama, que é o modelo de Leland. Isso já está fora do alcance de Feynman-Kac.

A transformação completa passo a passo, no artigo sobre Black-Scholes como equação do calor.

Black-Scholes, fórmula fechada

Exige opção europeia, \( \sigma \) e \( r \) constantes, sem dividendos e sem custo de transação. Com dividendo contínuo \( q \), substitua \( S \) por \( Se^{-q\tau} \) em toda a fórmula, inclusive dentro do logaritmo, o que equivale a trocar \( r \) por \( r-q \) em \( d_1 \) e \( d_2 \) mantendo o desconto em \( e^{-r\tau} \). O delta passa a ser \( e^{-q\tau}\Phi(d_1) \).

Leitura das peças. \( \Phi(d_2) \) é a probabilidade de exercício sob a medida neutra ao risco. \( \Phi(d_1) \) é o delta, e também é probabilidade de exercício, mas sob a medida que toma o próprio ativo como numerário. Dizer que \( \Phi(d_1) \) não é probabilidade nenhuma é a simplificação que entrevistador usa para derrubar candidato.

Quebra visivelmente no mercado. Se a fórmula valesse, uma única \( \sigma \) precificaria todos os strikes. Não precifica, e o desvio tem nome, sorriso de volatilidade. A fórmula sobrevive como linguagem, porque o mercado cota \( \sigma \) implícita em vez de preço, e não como descrição do processo.

Gregas da call europeia

Com \( \varphi \) a densidade normal padrão,

Gama e vega são iguais para call e put de mesmo strike e vencimento, porque a paridade difere por \( S - Ke^{-r\tau} \), que tem segunda derivada nula em \( S \) e não depende de \( \sigma \). A coincidência não vale para theta nem para rho, justamente porque essa diferença depende de \( r \) e de \( \tau \).

Onde cada uma é máxima. Gama e vega perto do dinheiro. No dinheiro, o gama explode perto do vencimento enquanto o vega encolhe. Fora do dinheiro os dois somem quando \( \tau \to 0 \). Vendido em gama de curto prazo é onde a perda por unidade de movimento é maior.

O vega é inconsistente com o próprio modelo. Black-Scholes assume \( \sigma \) constante, e o vega é a derivada em relação a um parâmetro que o modelo declara não variar. Na prática ele é usado como sensibilidade à volatilidade implícita, que é outra coisa, e é por isso que carteira neutra em vega ainda perde com mudança de formato do sorriso.

Discretização

Euler-Maruyama tem erro forte de ordem \( \sqrt{\Delta t} \) e erro fraco de ordem \( \Delta t \). O erro forte mede o desvio trajetória a trajetória, o fraco mede o desvio de esperanças, e é o fraco que importa para preço.

Para o movimento browniano geométrico, não discretize \( S \). Discretize o log, com \( S_{n+1} = S_n\exp\!\left[(\mu-\tfrac{1}{2}\sigma^{2})\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,Z_n\right] \). Essa forma é exata em distribuição para qualquer passo, sem viés de discretização, porque a solução fechada existe. Aplicar Euler direto em \( S \) introduz viés e permite valores negativos.

Quebra com raiz quadrada. No CIR o Euler produz \( X_n < 0 \) e a raiz estoura, sobretudo quando Feller é violada. Use truncamento, reflexão ou um esquema próprio.