Problema da semanaSemana de 19/10/2026Probabilidade condicional

O filtro de ordens com erro

Enunciado

Fácil

Uma corretora passa todas as ordens dos clientes por um filtro automático que procura erros de digitação, como um zero a mais na quantidade. Pelo histórico, 1 em cada 50 ordens tem erro. O filtro bloqueia 95% das ordens com erro e também bloqueia, por engano, 4% das ordens corretas.

Uma ordem sua acabou de ser bloqueada. Qual a probabilidade de ela ter mesmo um erro?

Para reduzir os bloqueios indevidos, a corretora passa a usar dois filtros com essas mesmas taxas, que falham de forma independente um do outro, tanto nas ordens com erro quanto nas corretas. Agora a ordem só é bloqueada se os dois filtros a marcarem. Se uma ordem for bloqueada no esquema novo, qual a probabilidade de ela ter erro?

Dica

Antes de qualquer fórmula, imagine 10.000 ordens e conte quantas com erro e quantas corretas acabam bloqueadas. A pergunta é sobre a fração de ordens com erro dentro do grupo das bloqueadas, e não sobre a taxa de acerto do filtro. Para os dois filtros, faça a mesma contagem aplicando as duas taxas em sequência.

Solução completa

Contando ordens

Pense em 10.000 ordens. Uma em cada 50 tem erro, então são 200 com erro e 9.800 corretas. O filtro bloqueia 95% das 200, ou seja 190, e 4% das 9.800, ou seja 392. Foram bloqueadas 582 ordens, e só 190 delas têm erro.

$$ P(\text{erro} \mid \text{bloqueada}) = \frac{190}{582} = \frac{95}{291} \approx 0{,}326 $$

Perto de dois terços das ordens bloqueadas, 67,4%, estão corretas, mesmo com um filtro que pega 95% dos erros. As ordens corretas são 49 vezes mais numerosas que as com erro, e 4% de um grupo grande supera 95% de um grupo pequeno. Esquecer a frequência de partida, a probabilidade a priori, é o erro que o problema quer provocar.

A mesma conta pela fórmula de Bayes

Chame de $ E $ o evento de a ordem ter erro, de $ C $ o de ela estar correta e de $ B $ o de ela ser bloqueada.

$$ P(E\mid B) = \frac{P(B\mid E)\,P(E)}{P(B\mid E)\,P(E) + P(B\mid C)\,P(C)} = \frac{0{,}95 \cdot 0{,}02}{0{,}95\cdot 0{,}02 + 0{,}04 \cdot 0{,}98} = \frac{0{,}019}{0{,}0582} $$

É a contagem acima escrita com probabilidades no lugar das quantidades.

O atalho, a forma de chances

Bayes fica mais rápido escrito em chances, a razão entre a probabilidade de uma hipótese e a da outra. Antes do filtro, as chances de erro contra acerto são de 1 para 49. O bloqueio é $ 0{,}95/0{,}04 $, ou 23,75 vezes, mais provável numa ordem com erro do que numa correta, e essa razão multiplica as chances.

$$ \frac{1}{49} \cdot \frac{95}{4} = \frac{95}{196} \quad\Longrightarrow\quad P(E\mid B) = \frac{95}{95+196} = \frac{95}{291} $$

A vantagem aparece na segunda pergunta. Cada filtro independente que marca a ordem multiplica as chances pela mesma razão, então dois filtros multiplicam por $ 23{,}75^2 $.

$$ \frac{1}{49}\cdot\left(\frac{95}{4}\right)^{2} = \frac{9025}{784} \quad\Longrightarrow\quad P(E \mid B_1 \cap B_2) = \frac{9025}{9025 + 784} = \frac{9025}{9809} \approx 0{,}920 $$

Pela contagem dá o mesmo. Em 1.000.000 de ordens, 20.000 têm erro, e $ 0{,}95^2 $, ou 90,25% delas, são marcadas pelos dois filtros, o que dá 18.050 ordens. Das 980.000 corretas, $ 0{,}04^2 $, ou 0,16%, são marcadas pelos dois, 1.568 ordens. São 18.050 ordens com erro entre 19.618 bloqueadas, a mesma fração $ 9025/9809 $.

O preço do esquema novo

Exigir os dois filtros derruba os bloqueios indevidos, mas deixa passar mais erros. Uma ordem com erro escapa se pelo menos um dos filtros falhar, o que acontece com probabilidade $ 1 - 0{,}95^2 $, ou seja 9,75% das ordens com erro, contra 5% com um filtro só. E a conta supõe que os filtros erram de forma independente. Dois filtros parecidos tendem a errar nas mesmas ordens, e aí o ganho real fica menor que o calculado.

Resposta

Com um filtro, $ \tfrac{95}{291} $, cerca de 32,6%.
Com os dois filtros, $ \tfrac{9025}{9809} $, cerca de 92,0%.

O que foi conferido e como

As três probabilidades desta página, a de erro com um filtro, a de erro com dois filtros e a fração de erros que passam pelo esquema novo, foram calculadas com frações exatas e comparadas com uma simulação de 2 milhões de ordens com semente fixa. Na simulação, cada ordem sorteia se tem erro, e cada um dos dois filtros sorteia, de forma independente, se a marca. As três estimativas ficaram dentro de 4,5 erros padrão das frações. As contagens e porcentagens intermediárias da solução são recalculadas com frações a partir das taxas do enunciado, que o teste lê da própria página, e cada resultado marcado na solução é comparado com a conta, junto com a última fração e as aproximações da fórmula em que ele aparece. Toda igualdade e toda aproximação puramente numérica das fórmulas da página também é refeita, o que pega uma fração intermediária errada. A conferência roda na bateria automática do site a cada mudança.