Problema da semanaSemana de 16/11/2026Passeio aleatório

Stop gain, stop loss e o passeio aleatório

Enunciado

Médio

Um robô compra uma ação a R$ 50 e deixa duas ordens prontas. Vende com lucro se o preço chegar a R$ 54 e vende com prejuízo se o preço chegar a R$ 48. Para simplificar, o preço anda em passos de R$ 1, e em cada passo sobe ou desce com probabilidade de 50%, sem depender dos passos anteriores.

Qual a probabilidade de a operação terminar no lucro? Quantos passos ela dura, em média? E qual o resultado esperado?

Agora suponha que em cada passo o preço sobe com probabilidade de 55% e desce com 45%. Qual passa a ser a probabilidade de terminar no lucro, e qual o resultado esperado da operação?

Dica

Sem tendência, o ganho esperado de cada passo é zero, e uma regra de parada que só olha o caminho até agora não muda isso. Para a duração, acompanhe o quadrado da distância até R$ 50. Com tendência, escreva a equação de primeiro passo, que liga a probabilidade de lucro em cada preço à dos dois preços vizinhos.

Solução completa

Sem tendência, o caminho braçal

Chame de $ P_s $ a probabilidade de chegar a 54 antes de 48 partindo do preço $ s $. Depois de um passo o preço está em $ s+1 $ ou em $ s-1 $, com chances iguais, então

$$ P_s = \tfrac12 P_{s+1} + \tfrac12 P_{s-1}, \qquad P_{48} = 0,\quad P_{54} = 1 $$

Cada $ P_s $ é a média dos vizinhos, então os valores ficam numa reta entre os extremos, $ P_s = (s-48)/6 $, e $ P_{50} = 2/6 = 1/3 $. A duração média $ T_s $ obedece à mesma conta com um passo a mais,

$$ T_s = 1 + \tfrac12 T_{s+1} + \tfrac12 T_{s-1}, \qquad T_{48} = T_{54} = 0 $$

cuja solução é $ T_s = (s-48)(54-s) $, o que dá $ T_{50} = 2 \cdot 4 = 8 $ passos. O resultado esperado é $ \tfrac13 \cdot 4 - \tfrac23 \cdot 2 = 0 $.

Sem tendência, o atalho do martingale

Sem tendência, o preço é um martingale, a média do próximo preço é o preço atual. O teorema da parada opcional diz que, com passos limitados e duração de média finita, parar por uma regra que só olha o passado não muda a média. O preço médio na saída é o de entrada.

$$ 54\,P + 48\,(1-P) = 50 \quad\Longrightarrow\quad P = \tfrac13 $$

Para a duração, chame de $ X_n $ a distância até 50 depois de $ n $ passos. O processo $ X_n^2 - n $ também é martingale, porque cada passo aumenta o quadrado, em média, em exatamente 1. Na saída, $ X $ vale $ +4 $ ou $ -2 $, e

$$ \mathbb{E}[T] = \mathbb{E}[X_T^2] = \tfrac13\cdot 16 + \tfrac23 \cdot 4 = 8 $$

O resultado esperado zero é a lição do problema. Os stops mudam a forma da distribuição do resultado, aqui uma chance em três de ganhar R$ 4 contra duas em três de perder R$ 2, mas não criam esperança positiva num preço sem tendência. Qualquer par de stops, em qualquer posição, dá resultado esperado zero.

Com tendência, a equação de primeiro passo

Com $ p = 0{,}55 $ para cima e $ q = 0{,}45 $ para baixo, a equação vira $ P_s = p\,P_{s+1} + q\,P_{s-1} $. As soluções têm a forma $ A + B\,r^{s} $, com $ r = q/p = 0{,}45/0{,}55 = 9/11 $, e as condições nos extremos dão

$$ P_s = \frac{1 - r^{\,s-48}}{1 - r^{6}}, \qquad P_{50} = \frac{1 - r^{2}}{1 - r^{6}} = \frac{14641}{31003} \approx 0{,}472 $$

O atalho é um martingale de novo, agora $ r^{X_n} $. A média dele não muda de um passo para o outro, porque $ p\,r + q\,r^{-1} = q + p = 1 $. Na saída, $ P\,r^{4} + (1-P)\,r^{-2} = 1 $, o que leva à mesma fração.

A probabilidade de lucro continua abaixo de 50%, porque o stop gain está duas vezes mais longe que o stop loss. Mesmo assim o resultado esperado fica positivo.

$$ \mathbb{E}[X_T] = 4P - 2(1-P) = 6P - 2 = \frac{25840}{31003} \approx 0{,}83 $$

A duração também tem atalho. Pela identidade de Wald, o resultado médio é o ganho médio por passo, $ p - q = 0{,}55 - 0{,}45 = 0{,}10 $, vezes o número médio de passos. Então $ \mathbb{E}[T] = 10 \cdot \tfrac{25840}{31003} = \tfrac{258400}{31003} $, cerca de 8,33 passos. O lucro esperado vem da tendência, e os stops só decidem por quanto tempo a operação fica exposta a ela.

Resposta

Sem tendência, a probabilidade de lucro é $ 1/3 $, cerca de 33,3%.
A operação dura em média 8 passos.
O resultado esperado é de R$ 0,00.
Com tendência de alta, a probabilidade de lucro é $ 14641/31003 $, cerca de 47,2%.
O resultado esperado passa a $ 25840/31003 $, cerca de R$ 0,83.

O que foi conferido e como

As seis respostas foram calculadas resolvendo com frações exatas o sistema das equações de primeiro passo nos cinco preços entre R$ 49 e R$ 53, e conferidas contra a fórmula fechada de $ P_{50} $ e contra a identidade de Wald. Uma simulação de 400 mil trajetórias em cada cenário, com semente fixa, ficou dentro de 4,5 erros padrão na probabilidade, na duração e no resultado. Os preços do enunciado e as probabilidades de alta são lidos da página. A mesma bateria resolve o sistema sem tendência para os 64 pares de stops entre 1 e 8 reais acima e abaixo da entrada, e confirma resultado esperado zero e duração igual ao produto das duas distâncias em todos.

Com passos cada vez menores e mais frequentes, o passeio aleatório vira o movimento browniano. Veja as trajetórias no laboratório de movimento browniano, e o lema que faz as contas com ele no artigo sobre o lema de Itô.