Girsanov, ou como trocar a probabilidade sem trocar os caminhos

O teorema de Girsanov costuma ser apresentado como um monstro técnico com exponencial estranha e condições de integrabilidade. O núcleo dele, porém, é completar o quadrado. Este texto começa por aí e termina explicando por que o retorno esperado do ativo some da fórmula de Black-Scholes.

Leitura de cerca de 15 minutos · exige integral, exponencial e a densidade da normal

Duas pessoas olham para o mesmo gráfico de preço. Concordam sobre tudo que aconteceu, porque os dados são os mesmos. Mas discordam sobre quanto aquilo era provável. Uma achava o desfecho corriqueiro, a outra achava improvável.

O teorema de Girsanov diz uma coisa forte sobre esse desacordo. Quando ele é do tipo certo, existe uma fórmula exata que converte a opinião de uma na opinião da outra. E o que muda entre as duas visões é apenas o drift, a tendência. A parte imprevisível, o tamanho do tremor, é a mesma para as duas e ninguém pode discordar sobre ela.

O caminho

O caso mais simples possível, uma normal só
A derivada de Radon-Nikodym, a taxa de câmbio entre medidas
O teorema de Girsanov
Para que serve, a medida neutra ao risco
A conta que prova, quatro mundos e um preço só
O que Girsanov não faz

1. O caso mais simples possível

Esqueça processos por um momento. Seja $ X $ uma variável aleatória normal padrão, com média zero e variância um, sob uma probabilidade que vamos chamar de $ \mathbb{P} $. Sua densidade é

$$ \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2} $$

Agora escolha um número $ \theta $ qualquer e defina uma quantidade nova, que depende de $ X $.

$$ Z = e^{-\theta X - \theta^{2}/2} $$

A afirmação é que multiplicar por $ Z $ dentro de uma esperança tem o efeito de deslocar a média da normal em $ -\theta $, sem mexer na variância. Em símbolos, para qualquer função razoável $ f $,

$$ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}\big[\,Z\,f(X)\,\big] = \mathbb{E}\big[\,f(Y)\,\big], \qquad Y \sim N(-\theta,\,1) $$

A prova é uma linha de álgebra do ensino médio. Escreva a esperança como integral e junte os expoentes.

$$ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}\big[Z f(X)\big] = \int f(x)\, e^{-\theta x - \theta^{2}/2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\,dx $$

O expoente combinado é

$$ -\theta x - \frac{\theta^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} = -\frac{1}{2}\Big(x^{2} + 2\theta x + \theta^{2}\Big) = -\frac{(x+\theta)^{2}}{2} $$

que é completar o quadrado, e nada mais. Voltando para a integral,

$$ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}\big[Z f(X)\big] = \int f(x)\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(x+\theta)^{2}/2}\,dx $$

e o que sobrou dentro da integral é exatamente a densidade de uma normal de média $ -\theta $ e variância 1.

Guarde isto, porque é o teorema inteiro

A exponencial que assusta em Girsanov está ali por um motivo prosaico. Ela é o fator que, ao ser multiplicado pela densidade da normal, completa o quadrado e desloca a média. O $ -\theta^{2}/2 $ no expoente é a correção que faz as contas fecharem, e é ele que garante que $ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z] = 1 $, o que você obtém tomando $ f \equiv 1 $ acima.

Uma ressalva honesta. Com $ \theta $ constante, que é o caso desta página inteira, o caso geral é esta ideia repetida ao longo do tempo, e o que sobra é maquinário. Quando $ \theta $ passa a variar aleatoriamente, como em modelos de volatilidade estocástica ou de juros, surge uma pergunta nova que não é técnica. O peso médio ainda vale 1? Ela pode falhar, e existem casos em que a suposta medida nova nem chega a ser uma probabilidade. A condição que garante o bom comportamento tem nome, condição de Novikov, e marca exatamente o ponto onde o teorema deixa de ser só completar o quadrado. Aqui ela vale trivialmente e não morde.

2. A taxa de câmbio entre duas probabilidades

O que acabamos de fazer merece um nome, porque é uma operação com significado próprio. Não mudamos a variável $ X $. O que mudamos foi o peso que cada resultado recebe.

Defina uma nova probabilidade $ \mathbb{Q} $ declarando que, para qualquer evento $ A $,

$$ \mathbb{Q}(A) = \mathbb{E}_{\mathbb{P}}\big[\,Z\,\mathbf{1}_{A}\,\big] $$

O símbolo $ \mathbf{1}_{A} $ é a função indicadora, que vale 1 quando o resultado cai dentro de $ A $ e 0 quando não cai. A esperança dela é a própria probabilidade de $ A $, então a fórmula acima está dizendo que a probabilidade nova de um evento é a probabilidade antiga com cada cenário pesado por $ Z $.

Isso é legítimo justamente porque $ Z > 0 $ sempre e $ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z] = 1 $, o que dá probabilidade total um. O objeto $ Z $ é chamado de derivada de Radon-Nikodym de $ \mathbb{Q}$ em relação a $ \mathbb{P} $, e se escreve

$$ Z = \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} $$

O nome intimida mais que a coisa, e a seção 1 já entregou a interpretação de graça. Divida a densidade nova pela antiga, ponto a ponto.

$$ \frac{\varphi_{\mathbb{Q}}(x)}{\varphi_{\mathbb{P}}(x)} = \frac{e^{-(x+\theta)^{2}/2}}{e^{-x^{2}/2}} = e^{-\theta x - \theta^{2}/2} = Z $$

É literalmente a razão entre os dois sinos, avaliada em cada ponto. Daí o nome derivada, no sentido de densidade relativa. Onde a razão passa de 1, o cenário ganhou peso na medida nova. Onde fica abaixo de 1, perdeu.

A analogia útil é câmbio. Os bens da economia são os mesmos, mas os preços saem em outra moeda, e $ Z $ é a cotação. Uma cotação que varia com o cenário, valorizando uns e desvalorizando outros, mas nunca zerando nenhum. É por isso que se exige que as duas medidas sejam equivalentes, ou seja, que concordem sobre o que é impossível. Câmbio não cria nem destrói bens.

3. O teorema de Girsanov

Agora passe da normal única para o processo. Seja $ W_t $ um movimento browniano sob $ \mathbb{P} $, no intervalo $ [0,T] $. A diferença em relação à seção 1 é que $ W_T \sim N(0,T) $, com variância $ T $ em vez de 1, e é só isso que muda na conta. Refazendo o mesmo completar de quadrado com essa variância, o expoente combinado fica

$$ -\theta x - \frac{\theta^{2}T}{2} - \frac{x^{2}}{2T} = -\frac{1}{2T}\Big(x^{2} + 2\theta T x + \theta^{2}T^{2}\Big) = -\frac{(x+\theta T)^{2}}{2T} $$

ou seja, uma normal de média $ -\theta T $ e variância $ T $. Repare que $ \theta $ não foi reescalado. Quem ganhou o fator $ T $ foi a correção no expoente, e é daí que sai o $ \tfrac{1}{2}\theta^{2}T $ da fórmula abaixo.

$$ Z_T = \exp\!\left(-\theta W_T - \tfrac{1}{2}\theta^{2}T\right), \qquad \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} = Z_T $$

O teorema afirma que, sob a medida $ \mathbb{Q} $ assim construída, o processo

$$ \boxed{\;\widetilde{W}_t = W_t + \theta t\;} $$

é um movimento browniano padrão. Note o que isso quer dizer. O processo $ \widetilde{W} $ tem, sob $ \mathbb{P} $, uma tendência determinística de subir a uma taxa $ \theta $. Sob $ \mathbb{Q} $ essa tendência desaparece e ele vira ruído puro.

E o mais importante, os caminhos não mudaram. Nenhuma trajetória foi redesenhada. O que mudou foi quanto peso cada trajetória recebe no cálculo das esperanças. Sob $ \mathbb{P} $ os caminhos que sobem são mais representativos, sob $ \mathbb{Q} $ eles perdem peso, e a subida média se anula.

Até onde a conta acima prova

Seja honesto sobre o alcance do que foi verificado. O completar de quadrado estabelece a distribuição no instante $ T $, e só isso. Afirmar que $ \widetilde{W} $ é um movimento browniano como processo, com incrementos independentes e estacionários ao longo de todo o intervalo, é bem mais forte, e essa parte exige o maquinário completo. É para ela que a estrutura de $ Z_t $ como martingale existe, e não por gosto de formalismo.

Conferido numericamente

Simulei quatro milhões de amostras de $ W_T $ sob $ \mathbb{P} $, com $ T = 2 $ e $ \theta = 0{,}6 $, e reponderei cada uma pelo fator $ Z_T $. O peso médio deu $ 1{,}0000 $, como exige a definição. A média reponderada de $ W_T $ deu $ -1{,}2004 $, contra o valor teórico $ -\theta T = -1{,}2 $. E a variância reponderada deu $ 2{,}0045 $, contra o valor teórico $ T = 2 $. A média mudou, a variância não.

4. Para que serve, a medida neutra ao risco

Sob a probabilidade do mundo real, uma ação tem retorno esperado $ \mu $, que é maior que a taxa livre de risco porque ninguém carrega risco de graça.

$$ dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t $$

O problema prático é que $ \mu $ é péssimo de estimar. Ele depende de aversão a risco, de expectativa, de humor de mercado, e duas pessoas competentes chegam a números bem diferentes. Se o preço de uma opção dependesse de $ \mu $, não haveria mercado de opções, haveria só discussão.

Girsanov resolve isso. Procuramos a medida $ \mathbb{Q} $ sob a qual a ação cresce à taxa livre de risco $ r $, e não a $ \mu $. Basta igualar as duas descrições do mesmo processo.

$$ \mu S\,dt + \sigma S\,dW = r S\,dt + \sigma S\,d\widetilde{W} $$

Cancelando $ S $ e isolando,

$$ \sigma\,d\widetilde{W} = (\mu - r)\,dt + \sigma\,dW \qquad\Longrightarrow\qquad d\widetilde{W} = dW + \theta\,dt, \quad \boxed{\;\theta = \frac{\mu - r}{\sigma}\;} $$

Esse $ \theta $ tem nome, é o preço de mercado do risco, e é o índice de Sharpe do ativo. Ele mede quanto retorno excedente se ganha por unidade de volatilidade carregada. É exatamente essa quantidade que precisa ser aniquilada para chegar num mundo onde ninguém exige prêmio por risco.

Feita a troca, precificar vira calcular uma esperança sob $ \mathbb{Q} $ e descontar.

$$ V_0 = e^{-rT}\,\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big[\,\text{payoff}(S_T)\,\big] $$

Por que a fórmula de Black-Scholes não tem o retorno esperado do ativo

Essa é a consequência que costuma incomodar quem vê pela primeira vez. Você precifica uma opção sobre uma ação sem precisar saber se ela vai subir 5% ou 30% ao ano. Parece que a informação foi perdida, e não foi. O que o mercado acredita sobre $ \mu $ já está embutido no preço à vista, e a fórmula toma esse preço como dado. A opção é precificada em relação ao ativo, não em relação a uma opinião sobre o futuro do ativo.

5. A conta que prova, quatro mundos e um preço só

Isso tudo é testável, e o teste é bonito. Vou simular a ação sob a medida real, com o drift $ \mu $ de verdade, calcular o payoff médio de uma call, reponderar cada cenário pelo fator de Girsanov, descontar, e comparar com a fórmula fechada de Black-Scholes.

Se a teoria estiver certa, quatro mundos com retornos esperados completamente diferentes, de queda de 5% ao ano até alta de 25%, precisam devolver exatamente o mesmo preço.

Parâmetros fixos, com $ S_0 = 100 $, $ K = 105 $, $ r = 4\% $, $ \sigma = 25\% $, $ T = 1 $ ano, e seis milhões de simulações por linha.

$ \mu $ do mundo real	$ \theta = (\mu-r)/\sigma $	preço reponderado	Black-Scholes
−5%	−0,360	9,5549	9,5563
4%	0,000	9,5494	9,5563
12%	0,320	9,5545	9,5563
25%	0,840	9,5593	9,5563

As diferenças na terceira casa decimal são ruído de Monte Carlo, e diminuem se você aumentar o número de simulações. O sinal é inequívoco. O drift real entrou nas simulações, foi retirado pela reponderação, e o preço não soube dizer qual dos quatro mundos gerou os dados.

No mesmo experimento conferi a outra face da moeda. O valor esperado reponderado da ação em um ano deu $ 104{,}08 $ nos quatro casos, contra $ S_0 e^{rT} = 104{,}081 $. Sob $ \mathbb{Q} $, a ação rende a taxa livre de risco, seja qual for o mundo de origem.

6. O que Girsanov não faz

Três limites que evitam confusão, e o terceiro é o que mais gera mal-entendido fora da sala de aula.

Não mexe na volatilidade

Só o drift muda, e a razão é concreta. Ela tem três elos, e o terceiro é o que responde à pergunta que o leitor atento faz na hora, que é por que o drift pode mudar se ele também está "em cada caminho".

Primeiro, a volatilidade se manifesta na variação quadrática, que é computável caminho a caminho, somando quadrados ao longo da trajetória, como apareceu no texto sobre o lema de Itô. Segundo, medidas equivalentes concordam sobre eventos de probabilidade zero. Então o evento "a variação quadrática vale $ \sigma^{2}t $", que tem probabilidade 1 sob $ \mathbb{P} $, tem probabilidade 1 sob $ \mathbb{Q} $ também. É aqui que a exigência de equivalência da seção 2 trabalha de verdade, e não é decoração.

Terceiro, e é o que fecha a questão. O drift não é identificável a partir de um único caminho em horizonte finito. Observando uma trajetória por tempo $ T $, sua melhor estimativa de $ \mu $ carrega erro padrão $ \sigma/\sqrt{T} $, e amostrar mais fino não ajuda em nada, porque só um horizonte maior reduz esse erro. Já $ \sigma $ você recupera exatamente refinando a soma de quadrados dentro do mesmo intervalo.

Daí a regra geral que vale guardar. O que dá para medir num caminho só, nenhuma mudança de medida equivalente pode alterar. O que não dá, está em jogo. O drift pode ser trocado precisamente porque nenhuma trajetória individual o denuncia. É por isso que a variância reponderada da seção 3 continuou valendo $ T $.

Não cria nem destrói possibilidades

As duas medidas precisam ser equivalentes, concordando sobre o conjunto de eventos impossíveis. Como $ Z $ é uma exponencial, ela nunca zera, e portanto nenhum cenário com probabilidade positiva sob $ \mathbb{P} $ vira impossível sob $ \mathbb{Q} $, nem o contrário. Girsanov redistribui crença, não altera o que pode acontecer.

Não afirma que o mundo é neutro ao risco

Esta é a mais importante. A medida $ \mathbb{Q} $, chamada de probabilidade neutra ao risco, ou risk-neutral na literatura em inglês, não é uma descrição da realidade, e ninguém acredita que investidores sejam indiferentes ao risco. Ela é um instrumento de cálculo, um sistema de coordenadas escolhido porque nele a conta fica trivial. Usar $ \mathbb{Q} $ para prever quanto uma ação vai render é um erro de categoria. Para previsão você quer $ \mathbb{P} $. Para precificação por não arbitragem você quer $ \mathbb{Q} $.

Vale a nuance, porque ela costuma ser mal citada. As densidades implícitas nos preços de opções até carregam informação sobre o futuro, mas só viram previsão depois de reintroduzir o prêmio de risco, ou seja, depois de desfazer Girsanov.

Veja o processo que está por trás de tudo isso

Girsanov opera sobre trajetórias brownianas, deslocando a tendência sem tocar no tremor. Construí um simulador que mostra essas trajetórias ao vivo, com o envelope de dois desvios padrão que escala com a raiz do tempo. Gratuito e sem cadastro.

Abrir o laboratório

Os dois caminhos até Black-Scholes

Com esta página, a trilha fecha um ciclo. Existem duas rotas independentes até a mesma fórmula, e vale saber que são duas.

A primeira é a rota da cobertura. Você aplica o lema de Itô ao preço da opção, monta uma carteira que cancela o termo em $ dW $, conclui que ela precisa render a taxa livre de risco sob pena de arbitragem, e cai numa equação diferencial parcial. Essa equação, por sua vez, é a equação do calor disfarçada, e a passagem completa está em outro texto.

A segunda é a rota da mudança de medida, que é esta. Você troca $ \mathbb{P} $ por $ \mathbb{Q} $ via Girsanov, escreve o preço como esperança descontada e resolve a integral.

As duas dão o mesmo número, e não por coincidência. A ponte formal entre elas tem nome próprio, Feynman-Kac, e é o assunto natural do próximo texto desta série.

Para fixar

Feche a aba e responda no papel.

De onde vem o termo $ -\theta^{2}/2 $ no expoente, e o que aconteceria se ele não estivesse lá?
Por que a mudança de medida não pode alterar a volatilidade?
Uma ação tem $ \mu = 14\% $, $ r = 5\% $ e $ \sigma = 30\% $. Qual o preço de mercado do risco?
Se dois analistas discordam sobre $ \mu $, eles discordam sobre o preço da opção?

Respostas da terceira e da quarta. O preço de mercado do risco é $ (14\% - 5\%)/30\% = 0{,}3 $. E não, eles não discordam sobre o preço da opção, desde que concordem sobre $ \sigma $, sobre a taxa livre de risco $ r $ e sobre o preço à vista, que é justamente o conteúdo da tabela da seção 5, onde $ r $ fica fixo nos quatro mundos. A discordância sobre $ \mu $ sobrevive na expectativa de retorno da opção, não no preço dela.